Suites numériques - cours et exercices الرياضيات باللغة الفرنسية

[oussamavb2003]

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Suites numériques



Généralités sur les suites numériques On appelle suite numérique toute application d'une partie de IN sur IR.
Une suite peut donc être considèrée comme une liste ordonnée de nombres réelles.
La notation habituelle est, si la suite s'appelle (u):

(un)

qui se lit : "u indice n" ou "terme d'indice n de la suite u".
Si la suite u a pour ensemble d'indice l'ensemble des entiers naturels IN, on a alors la suite:
u0 , u1 , u2 , ... , un, ....

On fait attention que la notation (un) correspond à l'ensemble des termes de la suite alors que la notation un correspond au terme d'indice n de la suite.
Dans la suite, toutes les suites seront indicées sur IN.




SENS DE VARIATION D'UNE SUITE
(un) étant une suite numérique, on pose les définition suivantes:

Définition d'une suite croissante
On dit que la suite est croissante si pour tout n entier naturel, on a : un < un+1
On a donc, u0 < u1 < u2 < u3 ....

Défintion d'une suite décroissante
On dit que la suite est décroissante si pour tout entier naturel n, on a : un+1 < un
On a donc un+1 < un < un-1 <.....< u2 < u1 < u0

Défintion d'une suite monotone
On dit que la suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.
Exemple:
La suite définie par: "Pour tout n entier naturel, un = 2n" est croissante.
La suite définie par: "Pour tout n entier naturel, vn = http://www.maths-express.com/bac-exo/bac-s/cour-s/suite-es/1sur(n+1).gif" est décroissante.
Ces deux suites sont donc monotones.
En revanche, la suite définie par: "Pour tout n entier naturel, wn = | n - 2 |" n'est pas monotone.
Le calcul des premiers termes de cette suite donne:
w0 = | 0 - 2 | = |2| = 2
w1 = | 1 - 2 | = |1| = 1
w2 = | 2 - 2 | = |0| = 0
w3 = | 3 - 2 | = |1| = 1

Elle n'est ni croissante, ni décroissante.

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Majorant-Minorant

Défintion d'une suite majorée
On dit que la suite est majorée s'il existe un réel M tel que pour tout n entier naturel, on a: un < MOn dit que M est un majorant de la suite.
Défintion d'une suite minorée
On dit que la suite est minorée s'il existe un reél m tel que pour tout n entier naturel, on a : m < unOn dit que m est un minorant de la suite.
Défintion d'une suite bornée
Si la suite admet un majorant et un minorant, on dit qu'elle est bornée.
Il existe donc M et m tel que pour tout n entier naturel, on a: m < un < MOn remarque que la suite est bornée si et seulement si il existe un réel A tel que pour tout n entier naturel, on a: |un| < A
Exemple:
La suite définie par : "Pour tout n entier naturel, un = -2n + 3" est majorée par 3 car: " pour tout n entier naturel, un <3"
La suite définie par : "Pour tout n entier naturel, vn = n2 " est minorée par 0 car: " pour tout n entier naturel, 0 < vn"
La suite définie par "Pour tout n entier naturel, wn = http://www.maths-express.com/bac-exo/bac-s/cour-s/suite-es/1sur(n+1).gif est bornée car: " pour tout entier naturel, 0 < wn < 1 "
On peut alors remarquer les propriètés suivantes:


Proprièté 1
Une suite croissante est minorée.(Car pour tout n , on a: u0 < un).
Proprièté 2
Une suite décroissante est majorée.(Car pour tout n , on a: u0> un) On fait attention qu'une suite n'est pas nécessairement bornée ou majorée ou minorée.
Par exemple, la suite définie sur IN par: " un = (-1)n.n " n'est ni bornée, ni majorée, ni minorée.

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EXEMPLES D'ETUDES DE SUITES

Exemple 1
On définit la suite (u) sur IN par : un = n 2 - 5n.

Est-ce une suite arithmétique? géométrique?
Si on calcule les premiers termes de cette suite, on obtient: u0 = 0 , u1 = -4 , u2 = -6 On constate alors que u1 - u0 n'est pas égal à u2 - u1.
Cette suite n'est pas arithmétique! Comme u0 = 0 et u1 = -4 , cette suite n'est pas géométrique car il n'existe pas q réel tel que u1 = q.u1
Est-ce une suite monotone?
Le calcul des termes de cette suite u0 = 0 , u1 = -4 , u2 = -6 , u3 = -6 , u4 = -4 , u5 = 0 , .... montre que cette suite n'est ni croissante , ni décroissante
Elle n'est donc pas monotone.
Est-ce une suite bornée?
On vérifie sans peine que pour tout n entier naturel, on a: -6 < un
Cette suite est donc minorée et un minorant est -6.
On vérifie aussi que cette suite n'est pas majorée.
Ce n'est donc pas une suite bornée.
Est-ce une suite convergente
On sait que la fonction (x2 - 5x) tend vers +oo si x tend vers +oo.
Cette suite diverge donc vers +oo.

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Exemple 2
On définit la suite (u) par la relation:
n + 1Pour tout n entier naturel ,un=n 2 + 1
Est-ce une suite monotone?
Pour tout n entier naturel, un simple calcul montre que: -3n - n2un+1 - un=((n + 1)2+1)(n2 + 1)Donc, pour tout entier naturel n , on a un+1 < un.
C'est donc une suite décroissante.
Est-ce une suite bornée
Etant décroissante, on sait que cette suite est majorée par u0 = 1.
De plus, on remarque que pour tout n entier naturel, on a : 0 < un
Elle est donc minorée par 0.
C'est donc une suite bornée.
Est-ce une suite convergente?
On sait qu'elle est décroissante et minorée par 0,
donc c'est une suite convergente vers une limite L telle que 0 < L.
De plus, on peut remarquer que pour tout n > 2, on a: 1un <n - 1On a donc l'encadrement: 10 < un <n - 1Comme 1Lim= 0 n->+oo(n - 1)on en déduit, d'après le théorème des "Gendarmes", que la suite (u) converge vers 0.

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Exemple 3
On définit la suite (u) par les relations:
u0 = 1
et
Pour tout n entier naturel, un+1 = 0,1.un + 2

Calcul des premiers termes de cette suite
Comme u0 = 1 , d'après la définition de cette suite, on a: u1 =0,1.u0 + 2 =2,1u2=0,1.u1 + 2=2,21u3=0,1.u2 + 2=2,221u4=0,1.u3 + 2=2,2221
Etude d'une suite auxiliaire
Posons la suite (W) définie par : 20Pour tout n entier naturel , Wn=un - 9On vérifie alors que pour tout n, on a: Wn+1 = 0,1.Wn.
(W) est donc une suite géométrique de raison (0,1).
L'expression de Wn en fonction de n est donc: Wn = (0,1)n.W0
D'où l'expression de un en fonction de n: 2020un=Wn +-= (0,1)n.W0 +99
Convergence de (u)
D'après la relation prcédente, comme (W) est une suite géométrique de raison q = 0,1
et que |0,1|< 1 , on sait que la suite (W) converge vers 0 donc la suite (u) converge vers (20/9).
20Limun =n->+oo9

[lacen]

بالتوفيق دائما يا رب

[prince12301]

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[Hassen]

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[هواوي؟]

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